圆周率：从割圆法到级数展开

今天是 3.14，写写圆周率是怎么算的。

割圆术

一开始的思路很简单，既然是『圆周』的比值，那就寻找一个方法计算圆周的长度就完事了。

1. 首先准备一个圆内接正六边形，每边长是 r，周长是 6r，如果把六边形周长当作圆周长，圆周率就是 $\pi=\frac{6r}{2r} = 3$。别笑，历史上确实有以 3 当作圆周率的，『周三径一』曾在多处典籍出现。

   

2. 以正六边形的边作中垂线，构造一个正 12 边形，则正12边形的边长即 $x=L_{\overline{A_2A_8}}$。

   

   $\overline{A_2A_8}$是直角三角形 $\triangle A_2A_8C$ 的斜边，$\overline{A_2C} = \frac{r}{2}$，$\overline{A_8C} = r - \overline{OC}$。而$\overline{OC}$又是直角三角形$\triangle A_2OC$的直角边。因此应用两次勾股定理，容易得到：

   $$x = \sqrt{\left(\frac{r}{2}\right)^2+\left(r-\sqrt{r^2-(\frac{r}{2})^2}\right)^2}$$

3. 进一步在正12边形基础上继续作中垂线变为 24 边形、48 边形……类推。

   

   局部放大：

   

   在 n 次迭代操作后，可以得到圆的内接正 $6\cdot2^n$ 边形，其边长为可由$6\cdot2^{n-1}$ 边长递推而来：

   $$l_n = \sqrt{\left(\frac{l_{n-1}}{2}\right)^2+\left(1-\sqrt{1-(\frac{l_{n-1}}{2})^2}\right)^2}$$

   根号内的平方展开，公式化简后得到：$l_n=\sqrt{2-\sqrt{4-l^2_{n-1} } }$。所以：$\pi\approx3\cdot2^n\cdot l_n$

   尽管可以将 $\pi_n=6\cdot2^n\cdot l_n$，$\pi_{n-1}=6\cdot2^n\cdot\frac{l_{n-1}}{2}$ 代入得到 $\pi_n$ 的直接递推式，但结果反而会增加计算难度，没有意义。

   编程验证一下割圆法的递推公式：

   from decimal import Decimal, getcontext
   
   def print_pi_iterations_csv(n_iterations, precision=50):
   
       getcontext().prec = precision + 2 
   
       r,k,s = Decimal(1),Decimal(6),Decimal(1) 
       pi_approx = (k * s) / (2 * r)
       print(f"0,{s:.{precision}f},{int(k)},{pi_approx:.{precision}f}")
   
       for n in range(1, n_iterations + 1):
           s = (Decimal(2) - (Decimal(4) - s**2).sqrt()).sqrt()
           k *= 2 
           pi_approx = (k * s) / (2 * r)
           print(f"{n},{s:.{precision}f},{int(k)},{pi_approx:.{precision}f}")
   
   print_pi_iterations_csv(n_iterations=100, precision=200)

   计算结果：

   n	$\pi$ （红色开始为误差项）	边数	边长
   0	3	6	1
   1	3.106	12	0.517638090205041524697797675248096656698137802639861027628006414630
   2	3.133	24	0.2610523844401031830968124557909780203874814096234645037812338966702656504596472
   3	3.139	48	0.1308062584602861336306311175503508828812646078901080356639753014926938148927779305724160345230399815
   4	3.14103	96	0.0654381656435522841273198526345762522299252545033923937561917675146374704265347854596049670897283379849162629786820274103417801265169
   5	3.14145	192	0.03272346325297356328594384696834610047132981567239244974814148723774665964804514057084743346984975274224223378392101609252042560186228338473297730652077981634239188734083635448788894004614630671707971
   6	3.141558	384	0.01636227920787425857039824658921801844533529416452341952057948786939579165064652866066255648348084605099544845686188429947694545964114075255218686278984440383734161800789305756187065766408033033714294
   7	3.141584	768	0.00818120805246957918924210834302383685031261696817992854723965236122383489144687206840513659491152519677943407736541665751720319595526819838604319161259091076464007027427841057546918033121536463776576
   8	3.1415905	1536	0.00409061258232819022882611784626426005671130508942161074227241896916750309821831955224474466566072674889796524473684900214896944666772227172928706453876775835266189348091823621540235396623950175141037
   9	3.14159211	3072	0.00204530736067660908238592229206387848510904769203534158371388824527333132200776714283048062007265192348301163404334423074239806419254304223189361723602246795475702449971333535955495781000908587365137
   10	3.14159252	6144	0.00102265381402739500247163869946902080272386682694276940575245689833248716463240037650358826374003409375522080937566141783691027096707879199337571242973168314629930390958384129075647765179770735929993
   11	3.141592619	12288	0.00051132692372483462812329904167729802119501834726478547125933748209551655293273596409563162021982192636730703620007115215205194042178721769005805718824184735509920188172391787369176696970438736673964
   12	3.141592645	24576	0.00025566346395130948052344901602532864686870304453467621730677964075264727555486053435606907311636775837244640506715770965493389536029465573114161194846506354894597613066543370721104363861111432890423
   13	3.1415926515	49152	0.00012783173223676626186947646649138260988152781056255781673371926384916560262546013047471577662181934711832084928074633138426333635453646621891256820530408464072964170436390615844992513167973181884419
   14	3.14159265306	98304	0.00006391586615102207116070807251821846928420566418226833293283142812113254271150192259083632846234511443992999462757190341371764220822115850525439907961017619817497180269701854339121002598869952981899
   15	3.14159265346	196608	0.00003195793307959090310938154255793333263503358446685194730153233192952836577298952906771466453949596139067707595400480370347309422927398029140060759615402672879750656729406381857083342148916810946482
   16	3.141592653556	393216	0.00001597896654030543499584362445350196006406104280692607674654698067095823491466166283932166777919474862554088504872494049081442239324689977187654126144557724034900570345338497245798640501861199132473
   17	3.1415926535814	786432	0.00000798948327021646542806668183879235631019681169477246348191864536472108682476590250406902878002067011109537606200591443120881102952774587693884967039607068647393920042977032508672304529703548793507
   18	3.1415926535877	1572864	0.00000399474163511620120530147346356461485004455676682492653080263097961031568786521018546178449577827905058028155793726100684082116620490208586760128562326052355254999492341178495600442520229714214498
   19	3.14159265358927	3145728	0.00000199737081755909666405925404488658903363571572547377195911130767842215943514172624435772225406061136635761994565450768012986355225672804758813211799003989963368820258474934638028323690684853391208
   20	3.14159265358966	6291456	0.00000099868540877967283970569170986518056233278254800139575240199441413157386950268773547426918651144098773169103279081732332903382750784965462242767295874351578603227570190990894498209480288483175579
   21	3.141592653589761	12582912	0.00000049934270438985198331235394158794637574452005163238561622949160536438778783833013780076841949385532244297830798431363949646238115306391824299463536681672767037675392104288262525145523660499757185
   22	3.141592653589785	25165824	0.00000024967135219492793708861548164863083528480050429414620649761964010850031010937136302482094374335613839348636992034690138588360189467559359010796462784072115098350334154845172067404838766858926926
   23	3.1415926535897912	50331648	0.00000012483567609746421172336255468185819030616389052416717182657674416467433744424882377430722467888793107943167913990376778051086967167245591527296295705271015718603906188572436811955215249723929612
   24	3.1415926535897927	100663296	0.00000006241783804873213625906312907314414694658977754689172890296684927941714902639547605794720789562158704287228431191826831833465509516927936598151213605097619366385055651234305254691020971269767748
   25	3.14159265358979311	201326592	0.00000003120891902436607192920429600309964886031266085579006387133906218733474982304042661535174860729942309322597890450240486561656308496161043473084985788277410293815655336611240206071283718092142279
   26	3.141592653589793207	402653184	0.00000001560445951218303643956123943486579303830946734590076137071151382758546729017465867897056956871062577565687205469967325499101603554656770693413534572719717163479597830054400212066111172965038686
   27	3.1415926535897932305	805306368	0.00000000780222975609151827915050614659739327282312314419213435000540384209982803362747958675796558062042982475357489548994098448825732511259496703453493157075790296236194140478050246191004140967384875
   28	3.1415926535897932365	1610612736	0.00000000390111487804575914699648887694425875179664923589163142535332766643652227643640373038294224713031271130104996335321398963832881871591336387327721771031647629833578335173087223319866660377209223
   29	3.1415926535897932380	3221225472	0.00000000195055743902287957442589891392782464098322741904183452748558916604225809692973822374008478147095680240506129083134376023950655446505210288531412793791591047020932205873679944497150982204577829
   30	3.14159265358979323834	6442450944	0.00000000097527871951143978732890626639587422864790677350546878071113342307743900198686359140290355881550128722580828503965413131817775505376202266065797748836863198053672189794374120960822078454085167
   31	3.141592653589793238432	12884901888	0.00000000048763935975571989367894773437693235284413627643353924138657991875227166863658134592478609629063235498679155112391032958494770696135492336364934405252910218154894519718632749329296292232873980
   32	3.141592653589793238455	25769803776	0.00000000024381967987785994684128569233584058123711119494820572430372864962831541128412896710085186107246109239553239175349774989214200004231103228126374017973510217647145205395451425934862543903141874
   33	3.1415926535897932384607	51539607552	0.00000000012190983993892997342086932431134209122043661067557410939165547834271901397817958184287679899746954872366931517378432756277219608864154084676071873439013814578810008899659458297578644652102792
   34	3.14159265358979323846216	103079215104	0.00000000006095491996946498671046297192359877068545345171015976479731683080387882390963230448827617887470480541069715613284937281391527142769874265021378174567842463712478657447014329047907537025078812
   35	3.14159265358979323846252	206158430208	0.00000000003047745998473249335523502468279035097713111976794487129248565177626429377675630894324491318143281681108283621034037740658494844040637391634904185368756479826080968237471660797772242533971580
   36	3.141592653589793238462613	412316860416	0.00000000001523872999236624667761795468151904619286610914234050926206938980743255828792757021971394828021509269854954204203807365348514101443729223110438242704353620510969922222720558589696914162834932
   37	3.141592653589793238462636	824633720832	0.00000000000761936499618312333880903263327500693447062322906813727064108287401977495862480364165191892572722821805378076342708109786024478510267128305685288129822216150408530005053668788474754596314193
   38	3.1415926535897932384626415	1649267441664	0.00000000000380968249809156166940452322820193894699000769679011251019721704206004157069165212410810544026360243081562173175012380943710784819833158848148454305274178869725472055344941764738359510503432
   39	3.1415926535897932384626429	3298534883328	0.00000000000190484124904578083470226247804652390846434085867764950648712663131010933239756397504390127793843615009932381929180666667653837973866688861742752372542199845768295329289064647703956013271496
   40	3.14159265358979323846264326	6597069766656	0.00000000000095242062452289041735113134701645625860333755562416727738678225630409133726241388412271419693280728455731432240919779384123153580275368398924018623402760598689881472309873103129157256079637
   41	3.141592653589793238462643354	13194139533312	0.00000000000047621031226144520867556568700737741734806466859775202820253268876017605259802738752786993037186448547714104069276714403847492681351960293481403671057123207625030082320476025045525187921347
   42	3.141592653589793238462643376	26388279066624	0.00000000000023810515613072260433778284519108236967983182064708458072713526423819809929748745762233445722522915255220218907083199050851571707542444274694226267953634788865545023196916578383333271638065
   43	3.1415926535897932384626433814	52776558133248	0.00000000000011905257806536130216889142280646539246564084611706836175233956662580323924238486502823822095273623016740503242823293473322752826943406712212347816633161124743887015182230112651127795772707
   44	3.1415926535897932384626433828	105553116266496	0.00000000000005952628903268065108444571142959822218603604003272493981728309761137840677254857193124035843137902790456916465278946093378200973737232257810799457850600559768648334606507173483923226798148
   45	3.14159265358979323846264338316	211106232532992	0.00000000000002976314451634032554222285571809480183716997213813631477682811379565938813807352206137928266371922361967513628494303350752813837220533755077556277267010508481067708258272280581697116368445
   46	3.141592653589793238462643383251	422212465065984	0.00000000000001488157225817016277111142785945936226160398008428988799695448379353411048669540675105529201156255393239241815105795960193162958466509541845372039556076088358306744001667409563608755116413
   47	3.1415926535897932384626433832723	844424930131968	0.00000000000000744078612908508138555571392978117629867936429404766032454532982972879927442015100333573102539703125512303180592336739443426803028897653497323464198804132243445293300830649524734564338552
   48	3.1415926535897932384626433832777	1688849860263936	0.00000000000000372039306454254069277785696489702504532435392851166970303119261182832676543366635866770056075491914594374169492690139868978298367458617935594850996354453930203928999116673294818087014542
   49	3.14159265358979323846264338327905	3377699720527872	0.00000000000000186019653227127034638892848244931713466026093694181479411041279007664518388039250219394917520581289134362666072356238423046393393267507079270873999818256870264565851827569558246606719889
   50	3.14159265358979323846264338327939	6755399441055744	0.00000000000000093009826613563517319446424122475914382989096505665488987955847187244503302737899350870943426865862471134189914127942916634993896055484923272330147659367044182796913164438902451505300070
   51	3.14159265358979323846264338327947	13510798882111488	0.00000000000000046504913306781758659723212061239214397741554460154588154282324605029445339776664665126602561797118126889216645671298658718824327096087054775868599403253919720208550301571372348300608040
   52	3.14159265358979323846264338327950	27021597764222976	0.00000000000000023252456653390879329861606030619764349651653005992524534679212430533767605152357040947956551476686121907768168532165192866105014965558860008759203488559386437922131721340234005270487190
   53	3.1415926535897932384626433832795011	54043195528445952	0.00000000000000011626228326695439664930803015309901818673435974985666074531862481319050223365839744480599681889753061151021039333721394536374942994115768269838484630595034485522996445808917007449174018
   54	3.14159265358979323846264338327950244	108086391056891904	0.00000000000000005813114163347719832465401507654953364817669171491508513164963273917601720652929341974206876005338536255726570022549748804281781239796629797911615377845161799814839230123476900245597338
   55	3.14159265358979323846264338327950277	216172782113783808	0.00000000000000002906557081673859916232700753827476989343953483745588691069860641116109055396819036476750547363087511217529594767943500465379157613992458109310350412218037800653716796508005520240576783
   56	3.141592653589793238462643383279502857	432345564227567616	0.00000000000000001453278540836929958116350376913738533038866604122773649845852696077719571424363288354984560163404176381957147290806540633568741458332329570497135696625855744102793092493269403397306521
   57	3.141592653589793238462643383279502877	864691128455135232	0.00000000000000000726639270418464979058175188456869271315294534842634237961791644978817963657368349018018547073553645174721809397062791589612692380420980430418549727383863300796950010128713119835412810
   58	3.1415926535897932384626433832795028825	1729382256910270464	0.00000000000000000363319635209232489529087594228434636257129921518973045610753984606903755555565090225823497728933861097425510012445275500660856570420314377959077737522021138499361073229058057856525305
   59	3.1415926535897932384626433832795028838	3458764513820540928	0.00000000000000000181659817604616244764543797114217318203500292521693513634109262568138724540009302627880665664054547671442602629245985300233979583099822160020500500483475659543003887476852580099590637
   60	3.14159265358979323846264338327950288409	6917529027641081856	0.00000000000000000090829908802308122382271898557108659111117062731122630670646165067155218116731953598635420518712225579467900141661189798523079951316477341015481355037440868192797508134947832305112068
   61	3.141592653589793238462643383279502884170	13835058055282163712	0.00000000000000000045414954401154061191135949278554329556729395924345799567022024256463341039252169509758470379152247370308692670281380402226420303760039400738209142733170889955014305024957720733537028
   62	3.1415926535897932384626433832795028841904	27670116110564327424	0.00000000000000000022707477200577030595567974639277164778511056032020960312473379843592387017238273841336013772018156620620139714636784838886552346958522729508544287095924157656559328774743942058403501
   63	3.1415926535897932384626433832795028841955	55340232221128654848	0.00000000000000000011353738600288515297783987319638582389273822774741487722356985886216283070820704775151719320297692305771229984585552789478670272471592185318112305923135816186725549723401189399465139
   64	3.1415926535897932384626433832795028841967	110680464442257309696	0.00000000000000000005676869300144257648891993659819291194639198232212119806943529938660652730685549751219967936668777898522258006789613584548518548947517399518980753460579735453010148010561666852518465
   65	3.14159265358979323846264338327950288419706	221360928884514619392	0.00000000000000000002838434650072128824445996829909645597319884971711231896692394593774390264752174589247798884844188386097084317662800257999539949531820854021372973920212589123057484043038413386480875
   66	3.141592653589793238462643383279502884197143	442721857769029238784	0.00000000000000000001419217325036064412222998414954822798659978217806262447498775999942703119802262260178073225171594371672767039910395837746754883514554387355534428542490502843047419903699298900650460
   67	3.1415926535897932384626433832795028841971628	885443715538058477568	0.00000000000000000000709608662518032206111499207477411399329993575396962036143460337853290058329403000825478551622790184696278207177431648889605252409000436176691963484486508085164556906087635528463600
   68	3.1415926535897932384626433832795028841971678	1770887431076116955136	0.00000000000000000000354804331259016103055749603738705699664997346010209869620989211161887341468235484256112337447060013347246770025475017772545318040100499719527221982164346924474197203014536962384233
   69	3.1415926535897932384626433832795028841971690	3541774862152233910272	0.00000000000000000000177402165629508051527874801869352849832498742794071041254151985860348959772059490108518983279739396677937494271519282335856564782606593038161921464824045057141901255243934791698939
   70	3.14159265358979323846264338327950288419716930	7083549724304467820544	0.00000000000000000000088701082814754025763937400934676424916249380120656283932533165465100141015772463551818630392263099429490062385425702670489272777099615392845908043683470262540481687443753631387209
   71	3.141592653589793238462643383279502884197169374	14167099448608935641088	0.00000000000000000000044350541407377012881968700467338212458124691150780737379448729299415778149104071588104247756832825705434634711181057142482354004448463241253905615654192091803661550138349834925883
   72	3.1415926535897932384626433832795028841971693929	28334198897217871282176	0.00000000000000000000022175270703688506440984350233669106229062345711696943116372132970566102529704265770576491705274450503252719017657177675877691511013902854190096207806219192633888747260021845335379
   73	3.1415926535897932384626433832795028841971693978	56668397794435742564352	0.00000000000000000000011087635351844253220492175116834553114531172872886793361517037525390327946746161632353791870268554275183884754782486331603778813068233615174199226884022215799223710907726838045600
   74	3.1415926535897932384626433832795028841971693990	113336795588871485128704	0.00000000000000000000005543817675922126610246087558417276557265586438573186906174890142708573558609834409560089188565508087950401784329091801122048811978107497632868024621903259103783240092289033277638
   75	3.14159265358979323846264338327950288419716939927	226673591177742970257408	0.00000000000000000000002771908837961063305123043779208638278632793219552817231264491493855962977459511403952943751000011500970438591506577337745170668333578535599951979023667877352456919294462872091966
   76	3.141592653589793238462643383279502884197169399350	453347182355485940514816	0.00000000000000000000001385954418980531652561521889604319139316396609809686587904376549740691013499079976873084270090861482240887454217130109700888814980605677101995723614993166563461344604800739186474
   77	3.141592653589793238462643383279502884197169399369	906694364710971881029632	0.00000000000000000000000692977209490265826280760944802159569658198304909003040486204625221934197345705522798618684369325162265879229605485469678366255030178352556066002693178577047232466989525115469101
   78	3.1415926535897932384626433832795028841971693993735	1813388729421943762059264	0.00000000000000000000000346488604745132913140380472401079784829099152455021488559854356404915684997373453194568910850150554234743333323887169027810355721265754992488889043086125818785113193573919393452
   79	3.1415926535897932384626433832795028841971693993747	3626777458843887524118528	0.00000000000000000000000173244302372566456570190236200539892414549576227575740319521183676701415789251813071691901508261310331929140249243806985456612550895329193795879589953572603154100824544871464065
   80	3.14159265358979323846264338327950288419716939937501	7253554917687775048237056	0.00000000000000000000000086622151186283228285095118100269946207274788113795994664709842522631154555946542345146881514528910460810254597164342807858892835620795414037008213423109321081194546364822645740
   81	3.14159265358979323846264338327950288419716939937509	14507109835375550096474112	0.00000000000000000000000043311075593141614142547559050134973103637394056899012895473577596850633110638350648736057102314237177980400366216536052889102776078611695252923253860326700438854434523571599969
   82	3.14159265358979323846264338327950288419716939937510	29014219670751100192948224	0.00000000000000000000000021655537796570807071273779525067486551818697028449633393126620840367198534402310258888355594288341333553345644955268599269768840268037991033640132662622651219876868571667511013
   83	3.1415926535897932384626433832795028841971693993751043	58028439341502200385896448	0.00000000000000000000000010827768898285403535636889762533743275909348514224832564737039425426334514586546996259218677535573509881948390470781402228825989395273182032651008058458132368741640505896617496
   84	3.14159265358979323846264338327950288419716939937510544	116056878683004400771792896	0.00000000000000000000000005413884449142701767818444881266871637954674257112418265890235838368509163216447481481489448816712110330223715773980089907117859221939072724239797636078782671271242814072375971
   85	3.14159265358979323846264338327950288419716939937510573	232113757366008801543585792	0.00000000000000000000000002706942224571350883909222440633435818977337128556209380885332434891172319848620488659729738164471724588802112783671406082911480437965024962904042577987603085039013447608945929
   86	3.14159265358979323846264338327950288419716939937510580	464227514732017603087171584	0.00000000000000000000000001353471112285675441954611220316717909488668564278104721435193031908950877204359837819737995801750320972363402779838300917945572908652501006153003542085374325991604412869361661
   87	3.141592653589793238462643383279502884197169399375105815	928455029464035206174343168	0.00000000000000000000000000676735556142837720977305610158358954744334282139052364591662367762396028262186118096103138740814467820927027954854394810262789410419235082714217186525080075111982148174778001
   88	3.141592653589793238462643383279502884197169399375105819	1856910058928070412348686336	0.00000000000000000000000000338367778071418860488652805079179477372167141069526182780089415357188087838593833946330836975399647327306680837620194187065419258155122989250888415010712734684797608033073625
   89	3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582060	3713820117856140824697372672	0.00000000000000000000000000169183889035709430244326402539589738686083570534763091450576986613092803132734513835450326938323875340758736308820974542462674391428058499844637478820265381488838988104029032
   90	3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582088	7427640235712281649394745344	0.00000000000000000000000000084591944517854715122163201269794869343041785267381545732855028173358746468046956525510777025489944130017542641677057978947214406421351026331982610650978815836832879531168973
   91	3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820952	14855280471424563298789490688	0.00000000000000000000000000042295972258927357561081600634897434671520892633690772867373330945030916346733440713728590207285972872463543131778575672519330342530762911803363811511058158186027795432290378
   92	3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820969	29710560942849126597578981376	0.00000000000000000000000000021147986129463678780540800317448717335760446316845386433804892579809401062455465663235945315460611537163618042257785088658544266429819636249671110253420808746597446520573378
   93	3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209735	59421121885698253195157962752	0.00000000000000000000000000010573993064731839390270400158724358667880223158422693216917224678316443392363825994914428934207508906198289830674985682660949635821384192403281631922844526642413278832413310
   94	3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097458	118842243771396506390315925504	0.00000000000000000000000000005286996532365919695135200079362179333940111579211346608460459637709689553823924642869271501663404845301205016530755451802616306227467630540663683104068369613595989640792411
   95	3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097485	237684487542793012780631851008	0.00000000000000000000000000002643498266182959847567600039681089666970055789605673304230460731173778259117213777111142880151658721675860020914535582465972145418673451986278984778163602362579726077072294
   96	3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974922	475368975085586025561263702016	0.00000000000000000000000000001321749133091479923783800019840544833485027894802836652115259229626755814834263320515134831240823898216087199538412524249058018818246139798994424707318178321345945256457982
   97	3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974939	950737950171172051122527404032	0.00000000000000000000000000000660874566545739961891900009920272416742513947401418326057633222818361243076588714252512839516036266280313248404349353781084532268698995350740374253514900417876053020966349
   98	3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749432	1901475900342344102245054808064	0.00000000000000000000000000000330437283272869980945950004960136208371256973700709163028817062409803538495726488875624597744971172786690330281567563348535035541670308629447817987552336482887802186116224
   99	3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494423	3802951800684688204490109616128	0.00000000000000000000000000000165218641636434990472975002480068104185628486850354581514408587579979633867542260906483321120854716349161878400707892481545467979558812567504614518139663047436054484489897
   100	3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944503	7605903601369376408980219232256	0.00000000000000000000000000000082609320818217495236487501240034052092814243425177290757204300836874550011231007511825538341473499419058028357844460091683379454395130967959953704622673261060242184507762

4. 在圆的外切正六边形上不断向内收缩也可以用来计算 $\pi$，与内接多边形的逻辑基本一致，但值是从大往小推的，和内接多边形共同构成了对 $\pi$ 的双向逼近。

   • 外接六边形的边长由 ${L_0}^2 = {\frac{L_0}{2}}^2+r^2$ 得到，即 ${L_0} = \frac{2}{\sqrt{3}}$。
   • 边长递推公式由半角公式推得：
     $$t_n=\frac{2t_{n-1}}{1+\sqrt{1+t^2_n}}$$
     两者相夹：
     $$ 3\cdot2^n\cdot l_n \lt \pi \lt 3\cdot2^n\cdot t_n$$

无穷级数

割圆是个效率很低的算法。当然，最初除了割圆别无他法，自然无所谓效率问题。直到有一天，人们发现了无穷级数：

$$\frac{\pi}{4} = 1 -\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$$

这个公式称为莱布尼茨级数，最早由印度数学家马德哈瓦发现并应用。

※ 你没看错，真正的先驱往往成为无名的先烈。这个公式据称是莱布尼茨独立重新发现的。

严格来说，莱布尼茨级数的计算效率并不高，甚至比割圆法还低，每增加一位精度需要多计算 10 项。但公式本身启迪了人们，计算 $\pi$ 还有割圆术不断乘方开方以外的其它方法。同时，级数更方便并行计算，不受递推公式约束，每一项的计算也更简单，因此具有重大的历史意义。随后越来越多的 $\pi$ 级数被研究出来：

• 马德哈瓦级数，每项精度约 1.4 位：

  $$\pi = \sqrt{12}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{3^k(2k+1)}$$

  最早实用于级数法计算 $\pi$ 的公式。

• 欧拉级数：

  $$\frac{\pi^2}{6} = \sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{k^2}$$

  任何一本高数书里都会有的公式。

• 牛顿级数：

  $$\pi=24\left(\frac{\sqrt{3}}{8}+\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(2k)!}{(k!)^2(2k+1)16^{k+1}}\right)$$

  牛爵爷是大英帝国的雄狮。

• 反正弦函数泰勒展开

  $$\frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\frac{2}{5}+\frac{1}{3}\frac{2}{5}\frac{3}{7}+\cdots = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^k(k!)^2}{(2k+1)!}$$

• Machin 公式：

  \begin{equation*}
  \begin{cases}
  \frac{\pi}{4}=4arctan\left(\frac{1}{5}\right)-arctan\left(\frac{1}{239}\right) \\
  arctan(x)=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}
  \end{cases}
  \end{equation*}

• 高斯-勒让德算法：

  \begin{equation*}
  \begin{cases}
  \pi \approx \frac{(a_n+b_n)^2}{4(1-\sum_{k=0}^{\infty}2^k(a_k-b_k)^2)} \\
  a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} \\
  b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}
  \end{cases}
  \end{equation*}

  计算机出现前夜的成果。

• 拉马努金级数：

  $$\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{99^2}\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4\cdot396^{4k}}$$

  来自娜玛卡尔女神梦中的启示。

• Chudnovsky 级数：
  $$\frac{1}{\pi}=\frac{12}{640320^3}\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(-1)^k(6k)!}{(k!)^3(3k)!}\cdot\frac{13591409k+545140134}{640320^{3k}}$$

  目前最高效的级数，每项可以推进 14 位精度。

• BBP 级数：

  $$\pi=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{16^k}\left(\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6}\right)$$

  这个级数具有革命性的意义：可以直接计算圆周率 16 进制（或2进制）下任意一位的值，而不需要从头开始逐项推进。因此尤其适合于分布式。

随着计算机的应用，单项是否易计算不出错已经不再是问题，计算效率变为了各类公式中最重要的考核标准。目前应用得最多的就是 Chudnovsky 级数和 BBP 级数。

一些豆知识

• 祖冲之与刘徽

  虽然课本里多提到祖冲之，但实际上割圆法是魏晋时期刘徽提出的。祖冲之据推测应该是在计算方法上有技术创新，同时明确提出了疏率 22/7 和密率 355/113。

• 东西方割圆

  前文演示的是通过内接圆和外切圆逼近 $\pi$ 的方法，但实际上刘徽的割圆术是使用内接多边形的面积来计算的，因为他先证明了 $圆面积 S = \frac{圆周 R}{2}\times半径 r$，面积计算有助于减少迭代时的计算量。纯靠线长计算是阿基米德干的。

• 割圆术/法的效率：

  $$k\approx2nlog_{10}2+log_{10}36\approx0.6n+1.56$$

• 椭圆周长公式为：

  $$C=4a\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-{(1-\frac{b^2}{a^2})}sin^2\theta}\ d\theta$$

  $C$ 与其长轴 $a$ 短轴 $b$ 有关，但并不存在固定的比值。该积分没有简化形式，需要通过数值方法计算。但拉马努金提出了两个近似公式可以简化计算：

  $$(1), C \approx \pi\left[3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]$$

  $$(2), C \approx \pi(a+b)\left[1+\frac{3h}{10+\sqrt{4-3h}}\right], h = \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}$$

  前者最大误差 0.05%，后者最大误差 0.01%。

• 椭圆面积公式为：

  $$S=\pi ab$$

  面积与周长不同，面积是二维度量，在几何变换下的缩放是线性的，对形状的局部变形不敏感，因此公式就是如此简单直接。

  而周长是一维弧长的积分，依赖曲线每一点的曲率变化，因此需要专门的椭圆积分计算。